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二次函数和一元二次方程的关系精品教案
教学设计
一 教学设计思路
通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二 教学目标
1 知识与技能
(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
(2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。
2 过程与方法
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
三 情感态度价值观
通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想.
四 教学重点和难点
重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
五 教学方法
讨论探索法
六 教学过程设计
(一)问题的提出与解决
问题 如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系
h=20t5t2。
考虑以下问题
(1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间?
(2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t-5t2。
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。
解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。
当球飞行2s时，它的高度为20m。
(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。
因为(-4)2-44.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。
(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。
由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系?
例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3。求自变量x的值。
分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4+3的值为0，求自变量x的值。
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0。
(二)问题的讨论
二次函数(1)y=x2+x-2;
(2) y=x2-6x+9;
(3) y=x2-x+0。
的图象如图26.2-2所示。
(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，有多少个交点，公共点的横坐标是多少?
(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?
先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。
可以看出：
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x=3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。
总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。
(三)归纳
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
(四)例题
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。
解：作y=x2-2x-2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7。
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7,x22.7。
七 小结
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
。
八 板书设计
用函数观点看一元二次方程
抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系
例题
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